Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=BC,D,E分别为BB₁,AC₁的中点.

(1)证明:ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线;

(2)设AA₁=AC=AB,求二面角A₁—AD—C₁的大小.

Answer 1

（1）证明:如图,建立直角坐标系O—xyz,其中原点O为AC的中点

设A(a,0,0),B(0,b,0),B₁(0,b,2c),

则C(-a,0,0)、C₁(-a,0,2c)、E(0,0,c)、D(0,b,c).

=(0,b,0),=(0,0,2c).

C·=0,∴ED⊥BB₁

又=(-2a,0,2c),

·=0,∴ED⊥AC₁.

∴ED是异面直线BB₁与AC₁的公垂线.

（2）解:不妨设A(1,0,0),

则B(0,1,0),C(-1,0,0),A₁(1,0,2),

=(-1,-1,0)、=(-1,1,0)、=(0,0,2)

·=0、·=0,即BC⊥AB,BC⊥AA₁,

又AB∩AA₁=A,∴BC⊥平面A₁AD.

又E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,0),

=(-1,0,-1), =(-1,0,1),C=(0,1,0),

·=0, ·=0,即EC⊥AE,EC⊥ED.

又AE∩ED=E,∴EC⊥平面C₁AD.

cos〈,〉=,即得和的夹角为60°.

∴二面角A₁—AD—C₁为60°.