Question

将半径为72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD，余下扇环ABCD的面积为648πcm²，围成圆台后，其上、下底半径之差为6cm，求该圆台的体积．

Answer 1

【答案】分析：设扇形的圆心角是α弧度，扇形OCD的半径为R₁，圆台上底面半径为r₁，下底面半径为r₂，高为h．根据弧长公式和扇形面积公式得到关于α和R₁的方程组，解之可得α=且R₁=36cm，由此算出r₁、r₂和圆台的高h，结合圆台体积公式即可算出该圆台的体积．
解答：解：根据题意，设扇形的圆心角是α弧度，扇形OCD的半径为R₁，
扇形OAB的半径为R₂=72，圆台上底面半径为r₁，下底面半径为r₂，圆台高为h，
∵扇形OAB的面积S₂=αR₂²=α•72²，扇形OCD的面积S₁=αR₁²
∴S₂-S₁=α（72²-R₁²）=648πcm²，可得α（72+R₁）（72-R₁）=648πcm²…（1）
∵弧AB=αR₂=72α=2π•r₂，弧CD=αR₁=2πr₁，r₂-r₁=6
∴r₂=，r₁=，可得=6，整理得α（72-R₁）=6π…（2）
将（2）代入（1），得6π•（72+R₁）=648πcm²，解得R₁=36cm
代入（2），得α=，
从而得到r₁=6，r₂=12，圆台母线长为R₂-R₁=72-36=36
∴圆台高h==6
根据圆台体积公式，得圆台的体积为
V=（r₁²+r₁r₂+r₂²）=×6（6²+6×12+12²）=504πcm²．
点评：本题给出圆侧面展开的扇环的数据，求圆台的体积．着重考查了弧长公式、扇形面积公式和圆台的侧面积、体积公式等知识，属于基础题．