Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D是AA₁的中点，E是B₁C的中点，
（1）证明：DE∥平面ABC
（2）求二面角C-B₁D-B的余弦值．

Answer 1

（1）证明：如图，E是B₁C的中点，取为BC的中点G，连接EG，AG，ED，
在△BCB₁中，∵BG=GC，B₁E=EC，∴EG∥BB₁，且EG=BB₁，
又AD∥BB₁，且AD=BB₁，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴四边形ADEG为平行四边形，∴DE∥AG，
又AG?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
（2）解：如图，以B为原点，BC、BA、BB₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0），
B₁（0，0，2），C₁（1，0，2），A₁（0，1，2），D（0，1，1），
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面ABB₁D．
如图，连接BD，
在△BB₁D中，∵BD=B₁D=2，BB₁=2，
∴BD²+B₁D²=BB₁²，即BD⊥B₁D，
∵BD是CD在平面ABB₁D内的射影，
∴CD⊥B₁D，∴∠CDB为二面角C-B₁D-B的平面角．
∵DC=（1，-1，-1），DB=（0，-1，-1），
∴cos∠CDB===，
∴二面角C-B₁D-B的余弦值为．
分析：（1）取G为BC的中点，由E是B₁C的中点，知EG∥BB₁，且EG=BB₁，又AD∥BB₁，且AD=BB₁，故EG∥AD，EG=AD，所以四边形ADEG为平行四边形从而有DE∥AG，从而有DE∥平面ABC．
（2）由直三棱柱的结构特征，得到B₁B⊥BC，再由AB⊥BC，得到BC⊥平面ABB₁D．从而有BD⊥B1D，所以BD是CD在平面ABB₁D内的射影，∠CDB为二面角C-B1D-B的平面角．由向量法能求出二面角C-B₁D-B的余弦值．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，恰当地引入辅助线，合理地建立空间直角坐标系，注意向量量的灵活运用．