Question

已知抛物线的顶点为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心．两曲线的焦点在同一坐标轴上，椭圆的长轴长为4．抛物线与椭圆交于点M(

2

3

，-

2 6

3

)，求抛物线方程与椭圆方程．

Answer 1

分析：由题意可设抛物线的方程为y²=mx（m≠0）．把点代入M(

2

3

，-

2 6

3

)抛物线方程即可得到m．把点M(

2

3

，-

2 6

3

)代入椭圆的方程可得

4

9a2

+

24

9b2

=1，又2a=4，联立即可解得．

解答：解：∵椭圆的焦点在x轴上，且两曲线的焦点在同一坐标轴上，
∴抛物线的焦点也在x轴上，可设抛物线的方程为y²=mx（m≠0）．
∵M(

2

3

，-

2 6

3

)在抛物线上，∴(-

2 6

3

)2=

2

3

m，解得m=4，∴抛物线的方程为y²=4x．
∵M(

2

3

，-

2 6

3

)在椭圆上，∴

4

9a2

+

24

9b2

=1   ①
又2a=4  ②
由①②可得a²=4，b²=3．
∴椭圆的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题考查了抛物线与椭圆的焦点的标准方程及其性质，属于基础题．