Question

（本题满分18分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分．

已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为.

（1）当时，求椭圆的方程；

（2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于两点，若弦长等于的周长，求直线的方程；

（3）由抛物线弧和椭圆弧

（）合成的曲线叫“抛椭圆”,是否存在以原点为直角顶点，另两个顶点落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b，半焦距为c,

当=1时，由题意得，a=2c=2,, 

所以椭圆的方程为.（4分）

（2）依题意知直线的斜率存在，设，由得，，由直线与抛物线有两个交点，可知.设，由韦达定理得，则（6分）又的周长为，所以，          （8分）

解得，从而可得直线的方程为        （10分）

（3）由题意得，“抛椭圆”由抛物线弧和椭圆弧合成，且、。

假设存在为等腰直角三角形，由所在曲线的位置做如下3种情况讨论：

①当同时在抛物线弧上时，由、的斜率分别为，比为钝角，显然与题设矛盾. 此时不存在                （12分）

② 当同时在椭圆弧上时，由椭圆与等腰直角三角形的对称性知，则两直角边关于x轴对称.即直线的斜率为1，直线的斜率为，

得符合题意；此时存在（15分）

③ 不妨设当在抛物线弧上，在椭圆弧上时，

于是设直线的方程为（其中），将其代入得；由，直线的方程为，同理代入椭圆弧方程得,

由得,解得与矛盾，此时不存在。

因此，存在以原点为直角顶点，另两个顶点落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形，两直角边所在直线的斜率分别为1和.（18分）