Question

【题目】设函数，其中．

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当，且时，证明不等式．

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）求导后求出斜率，点斜式即可求出答案；

（2）求导得，分和讨论，借助导数即可求出单调性；

（3）当时，，令，利用导数可得函数在区间上单调递增，得时，，对任意正整数，取，有，利用裂项相消法即可证明．

解：（1）当时，，

∴，故切线的斜率为2，

∴函数的图象在点处的切线方程为；

（2），

当时，，函数在区间上单调递增，

当时，，解得，，

①当时，，，

令，解得，令，解得，

∴函数在区间上单调递减，在上单调递增，

②当时，，

令，解得或，令，解得，

∴函数在区间上单调递减，

在，上单调递增；

（3）证明：当时，，

令，

在区间上恒为正，

∴函数在区间上单调递增，

当）时，，

∴当时，，

即，对任意正整数，取，有，

∴

．