【题目】已知函数.
(1)证明:函数在
上存在唯一的零点;
(2)若函数在区间
上的最小值为1,求
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)求解出导函数,分析导函数的单调性,再结合零点的存在性定理说明在
上存在唯一的零点即可;
(2)根据导函数零点,判断出
的单调性,从而
可确定,利用
以及
的单调性,可确定出
之间的关系,从而
的值可求.
(1)证明:∵,∴
.
∵在区间
上单调递增,
在区间
上单调递减,
∴函数在
上单调递增.
又,令
,
,
则在
上单调递减,
,故
.
令,则
所以函数在
上存在唯一的零点.
(2)解:由(1)可知存在唯一的,使得
,即
(*).
函数在
上单调递增.
∴当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增.
∴.
由(*)式得.
∴,显然
是方程的解.
又∵是单调递减函数,方程
有且仅有唯一的解
,
把代入(*)式,得
,∴
,即所求实数
的值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有件产品,其中
件是次品,其余都是合格品,现不放回的从中依次抽
件.求:(1)第一次抽到次品的概率;
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率;
(3)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,侧棱
底面
,
,
,
,
,
是棱
中点.
(1)已知点在棱
上,且平面
平面
,试确定点
的位置并说明理由;
(2)设点是线段
上的动点,当点
在何处时,直线
与平面
所成角最大?并求最大角的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)分别写出直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)已知点,直线
与曲线
相交于
两点,求证:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】记无穷数列的前n项
,
,…,
的最大项为
,第n项之后的各项
,
,…的最小项为
,
.
(1)若数列的通项公式为
,写出
,
,
;
(2)若数列的通项公式为
,判断
是否为等差数列,若是,求出公差;若不是,请说明理由;
(3)若数列为公差大于零的等差数列,求证:
是等差数列.
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