【题目】记无穷数列的前n项
,
,…,
的最大项为
,第n项之后的各项
,
,…的最小项为
,
.
(1)若数列的通项公式为
,写出
,
,
;
(2)若数列的通项公式为
,判断
是否为等差数列,若是,求出公差;若不是,请说明理由;
(3)若数列为公差大于零的等差数列,求证:
是等差数列.
【答案】(1),
,
分别为
;(2)是等差数列,公差
;(3)详见解析.
【解析】
(1)把代入通项公式,根据
可求
,
,
;
(2)先求出的通项公式,然后进行判定;
(3)设出的通项公式,结合数列的单调性进行证明.
(1)由题知数列的通项公式为
,
可知,
,
,
且当
时是单调递增数列,
所以,
,
,
所以,
,
分别为
.
(2)由题知数列的通项公式为
,
所以数列是单调递减的数列,且
,
由题知,
,
因为,
故数列是单调递增数列,
所以当时,
,
,
故,
所以数列的通项公式是
,
即数列是等差数列,公差
.
(3)由题知数列为公差大于零的等差数列,
故设且公差
,
当时,有
,
整理得,
若,则有
,
故,
因为,所以当
时
,
当时
,
类似的可以证明,
因为,
故有,
故数列是单调递增数列,
所以当时,
,
,
故,
所以数列的通项公式是
,
即数列是等差数列,公差为
.
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【题目】已知定义在R的奇函数满足
,且
时,
,下面四种说法①
;②函数
在[-6,-2]上是增函数;③函数
关于直线
对称;④若
,则关于
的方程
在[-8,8]上所有根之和为-8,其中正确的序号__________。
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【题目】2020年春季,某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车,现有两款车型,根据以往这两种出租车车型的数据,得到两款出租车车型使用寿命频数表如下:
使用寿命年数 | 5年 | 6年 | 7年 | 8年 | 总计 |
| 10 | 20 | 45 | 25 | 100 |
| 15 | 35 | 40 | 10 | 100 |
(1)填写下表,并判断是否有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关?
使用寿命不高于 | 使用寿命不低于 | 总计 | |
| |||
| |||
总计 |
(2)司机师傅小李准备在一辆开了年的
型车和一辆开了
年的
型车中选择,为了尽最大可能实现
年内(含
年)不换车,试通过计算说明,他应如何选择.
附:,
.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,整理如下:
甲公司员工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350
乙公司员工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件0.65元,乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.
(1)根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数;
(2)为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为
(单位:元),求
的分布列和数学期望;
(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.
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【题目】已知抛物线的焦点坐标为
(1)求抛物线方程;
(2)过直线上一点
作抛物线的切线切点为A,B
①设直线PA、AB、PB的斜率分别为,求证:
成等差数列;
②若以切点B为圆心r为半径的圆与抛物线C交于D,E两点且D,E关于直线AB对称,求点P横坐标的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数).以直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)若过点的直线
与
交于
,
两点,与
交于
,
两点,求
的取值范围.
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【题目】已知直线的参数方程为
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)设点,直线
与曲线
交于
两点,求
的值.
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【题目】平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.且曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程以及曲线
的直角坐标方程;
(2)若点的极坐标为
,直线
与曲线
交于
两点,求
的值
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