Question

【题目】已知抛物线的焦点坐标为

（1）求抛物线方程；

（2）过直线上一点作抛物线的切线切点为A，B

①设直线PA、AB、PB的斜率分别为，求证：成等差数列；

②若以切点B为圆心r为半径的圆与抛物线C交于D，E两点且D，E关于直线AB对称，求点P横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.

【解析】

（1）根据焦点求出p即可写出抛物线方程；（2）①设，利用导数的几何意义用、表示出、，再用、表示出，由即可证明；②求出直线AP、直线BP的方程，联立求出两直线的交点坐标P，由点P在直线上进一步化简直线AP的方程，联立抛物线方程与直线DE的方程得到关于x的一元二次方程，根据题意，再由点H在直线AB上将不等式转化为关于t的不等式求解即可.

（1）由题意知，，抛物线方程为；

（2）①设，

因为，，所以，所以，，

则，，

所以，即成等差数列．

②直线AP的方程为，

同理直线BP的方程为，

则两直线的交点坐标，

代入直线，得①，

直线AB的方程为，

①式代入上式可得，

因为，所以直线AB的方程为，

1）若则抛物线上不存在两点关于直线AB对称，

2）若，设为抛物线上关于直线AB对称的两点，

此时

设DE方程为，DE与直线AB交于点，

，

，，

所以，，

因为H点在直线AB上，

所以代入式得，解得．