Question

函数f(x)=sinx+2xf′(

π

3

)，f′(x)为f(x)的导函数，令a=

1

2

，b=log₃2，则下列关系正确的是（　　）

A．f（a）＞f（b）

B．f（a）＜f（b）

C．f（a）=f（b）

D．以上都不正确

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，取x=

π

3

求出f′(

π

3

)，代入原函数解析式后求出f（x），求导函数判断原函数的单调性，比较a与b的大小后运用单调性判断f（a）与f（b）的大小．

解答：解：由f(x)=sinx+2xf′(

π

3

)，得：f′(x)=cosx+2f′(

π

3

)，
∴f′(

π

3

)=cos

π

3

+2f′(

π

3

)，则f′(

π

3

)=-

1

2

．
∴f（x）=sinx-x．
∵f^′（x）=cosx-1在x∈（0，1）上小于0恒成立．
∴f（x）=sinx-x在x∈（0，1）上为减函数．
∵a=

1

2

=log3

3

＜log3

4

=log₃2=b＜1，
∴f（a）＞f（b）．
故选A．

点评：本题考查了导数的运算，考查了利用导函数判断一个函数的单调性，由单调性比较两个函数值的大小，此题是中档题．