Question

（2012•浙江模拟）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知函数f(x)=sin(2x-

π

6

)满足：对于任意x∈R，f（x）≤f（A））恒成立．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，求BC边上的中线AM长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（A）为函数f（x）的最大值，即sin(2A-

π

6

)=1，由此求得角A 的值．
（2）利用余弦定理可得AM²=-

b2+c2

2

+

3

4

，3=b²+c²-bc，从而得到 3＜b²+c²≤6，由此求得BC边上的中线AM长的
取值范围．

解答：解：（1）由题意可得f（A）为函数f（x）的最大值，即sin(2A-

π

6

)=1，∴A=

π

3

．
（2）若a=

3

，则BM=

3

2

，△ABM中，由余弦定理可得 c²=

3

4

+AM²-2×

3

2

cos∠AMB ①．
在△ACM中，由余弦定理可得 b² =

3

4

+AM²-2×

3

2

cos∠AMC=

3

4

+AM² +2×

3

2

cos∠AMB ②．
把①、②相加可得AM² =

b2+c2

2

-

3

4

．
△ABC中，再由余弦定理可得 3=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc，
故有  b²+c² =3+bc＞3，且 b²+c²-bc=3≥b²+c²-

b2+c2

2

，
化简可得3＜b²+c²≤6，∴AM∈（

3

2

，

3

2

]．

点评：本题主要考查余弦定理，求三角函数的最值，以及不等式性质的应用，属于中档题．