Question

 (本小题满分15分)

已知定点A、B间的距离为2，以B为圆心作半径为2的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时，点M的轨迹记为曲线C．

(1)建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线；

(2)试判断l与曲线C的位置关系，并加以证明．

                    

Answer 1

解 (1)以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0).                                    

设M(x, y),由题意：|MP|=|MA|,  |BP|=2，所以 |MB|+|MA|=2.

故曲线C是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆，其方程为x2+2y2=2.            

(2)直线l与曲线C的位置关系是相切.

证法一：由(1)知曲线C方程为x2+2y2=2，

设P(m, n)，则P在⊙B上，故(m－1)2+n2=8，  即m2+n2=7+2m.                   

当P、A、B共线时，直线l的方程为x=±，显然结论成立. 

当P、A、B不共线时，直线l的方程为：,整理得，                           

把直线l的方程代入曲线C方程得：，

整理得  

 ∴直线l与曲线C相切.(说明：以A或B为原点建系亦可)

证法二：在直线l上任取一点，连结，由垂直平分线的性质得，                   

∴ (当且仅当M、重合时取“=”号)

∴直线l与椭圆C有且仅有一个公共点M.　　　　　　　　　　结论得证