Question

设函数.

（Ⅰ） 求函数的最小值；

（Ⅱ） 设，讨论函数的单调性；

（Ⅲ）斜率为的直线与曲线交于、两点，

求证：.

Answer 1

（Ⅰ） 解：，令，得.     

∵当时，；当时，，     

∴当时，.          

（Ⅱ），.      

   ① 当时，恒有，在上是增函数；         

 

 ② 当时，令，得,解得；      

令，得，解得.             

   综上，当时，在上是增函数；

   当时，在上单调递增，在上单调递减.        

（Ⅲ） 证：.

   要证，即证，等价于证，令，

则只要证，由知，故等价于证 (*).

   ① 设，则，故在上是增函数，

      ∴ 当时，，即.

   ② 设，则，故在上是增函数，

      ∴ 当时，，即.

由①②知(*)成立，得证.