分析:(Ⅰ)求导数f′(x),由f(x)在x=1与
x=处都取得极值,得f'(1)=0,
f′()=0,得关于a,b的方程组,解出a,b,然后检验;
(Ⅱ)对任意的
x1∈[,2],总存在
x2∈[,2],使得g(x
1)≥f(x
2)-lnx
2,等价于g(x)
min≥[f(x)-lnx]
min,利用函数单调性易求[f(x)-lnx]
min,按照对称轴在区间[
,2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g(x)
min,然后解不等式g(x)
min≥[f(x)-lnx]
min可得答案;
解答:解:(Ⅰ)∵
f(x)=2ax-+lnx, ∴f′(x)=2a++,
∵
f(x)=2ax-+lnx在x=1与
x=处都取得极值,
∴f'(1)=0,
f′()=0,∴
,解得
a=b=-,
当
a=b=-时,
f′(x)=--+=,
所以函数f(x)在x=1与
x=处都取得极值.
∴
a=b=-;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数
y=f(x)-lnx=-x+在
[,2]上递减,
∴[f(x)-g(x)]
min=-
×2+
=-
,
又函数g(x)=x
2-2mx+m图象的对称轴是x=m,
(1)当
m<时:
g(x)min=g()=,依题意有
≥-成立,∴
m<;
(2)当
≤m≤2时:
g(x)min=g(m)=m-m2,
∴
m-m2≥-,即6m
2-6m-7≤0,解得:
≤m≤,
又∵
≤m≤2,∴
≤m≤;
(3)当m>2时,g(x)
min=g(2)=4-3m,∴
4-3m≥-,解得
m≤,
又 m>2,∴m∈?;
综上:
m≤,
所以,实数m的取值范围为
(-∞,].
点评:本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值,考查恒成立问题的解决,考查分类讨论思想、转化思想.