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(2013•怀化二模)已知f(x)=2ax-
b
x
+lnx
在x=1与x=
1
2
处都取得极值.
(Ⅰ) 求a,b的值;
(Ⅱ)设函数g(x)=x2-2mx+m,若对任意的x1∈[
1
2
,2]
,总存在x2∈[
1
2
,2]
,使得、g(x1)≥f(x2)-lnx2,求实数m的取值范围.
分析:(Ⅰ)求导数f′(x),由f(x)在x=1与x=
1
2
处都取得极值,得f'(1)=0,f′(
1
2
)=0
,得关于a,b的方程组,解出a,b,然后检验;
(Ⅱ)对任意的x1∈[
1
2
,2]
,总存在x2∈[
1
2
,2]
,使得g(x1)≥f(x2)-lnx2,等价于g(x)min≥[f(x)-lnx]min,利用函数单调性易求[f(x)-lnx]min,按照对称轴在区间[
1
2
,2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g(x)min,然后解不等式g(x)min≥[f(x)-lnx]min可得答案;
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=2ax-
b
x
+lnx,   ∴f′(x)=2a+
b
x2
+
1
x

f(x)=2ax-
b
x
+lnx
在x=1与x=
1
2
处都取得极值,
∴f'(1)=0,f′(
1
2
)=0
,∴
2a+b+1=0
2a+4b+2=0
,解得a=b=-
1
3

a=b=-
1
3
时,f′(x)=-
2
3
-
1
3x2
+
1
x
=
-2(x-1)(x-
1
2
)
3x2

所以函数f(x)在x=1与x=
1
2
处都取得极值.
a=b=-
1
3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数y=f(x)-lnx=-
2
3
x+
1
3x
[
1
2
,2]
上递减,
∴[f(x)-g(x)]min=-
2
3
×2
+
1
3×2
=-
7
6

又函数g(x)=x2-2mx+m图象的对称轴是x=m,
(1)当m<
1
2
时:g(x)min=g(
1
2
)=
1
4
,依题意有 
1
4
≥-
7
6
成立,∴m<
1
2

(2)当
1
2
≤m≤2
时:g(x)min=g(m)=m-m2
m-m2≥-
7
6
,即6m2-6m-7≤0,解得:
3-
51
6
≤m≤
3+
51
6

又∵
1
2
≤m≤2
,∴
1
2
≤m≤
3+
51
6

(3)当m>2时,g(x)min=g(2)=4-3m,∴4-3m≥-
7
6
,解得m≤
31
18

又 m>2,∴m∈?;
综上:m≤
3+
51
6

所以,实数m的取值范围为(-∞,
3+
51
6
]
点评:本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值,考查恒成立问题的解决,考查分类讨论思想、转化思想.
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1+x2
)
,且f(2)=a,则f(-2)=(  )

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①若m⊥α,n?α,则m⊥n;       
②若m⊥α,α⊥β,则m∥β;
③若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n?α,n⊥m,则n⊥β.
其中所有正确命题的序号是(  )

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5
13
,角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是
3
5
,则cosα=(  )

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(2013•怀化二模)已知一条直线的参数方程是
x=1+
1
2
t
y=-5+
3
2
t
(t为参数),另一条直线的方程是x-y-2
3
=0
,则两直线的交点与点(1,-5)间的距离是
4
3
4
3

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