Question

如图所示，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，左焦点为F₁（-1，0）右焦点为F₂（1，0），短轴两个端点为A、B，与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁，k₂，且k1k2=

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；     
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析：（1）由焦点坐标可得c值，由离心率可得a值，据a，b，c关系可求得b；
（2）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及斜率公式可用k，b表示出等式k1k2=

3

2

，由此可求得b值，进而可求得直线所过定点；

解答：解：（1）由题意可知：椭圆C的离心率e=

c

a

=

2

2

，且c=1，
∴b²=1，a²=2，
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+b

，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∴x₁+x₂=-

4kb

1+2k2

，x₁x₂=

2b2-2

1+2k2

，
∵k₁=

y1+1

x1

，k₂=

y2+1

x2

．
∴k₁k₂=

kx1+1+b

x1

•

kx2+1+b

x2

=

k2x1x2+(1+b)k(x1+x2)+(1+b)2

x1x2

=

3

2

，
将韦达定理代入，并整理得

2k2(b-1)-4k2b+(1+2k2)(b+1)

b-1

=3，即

b+1

b-1

=3，解得b=2．
∴直线l与y轴相交于定点（0，2）；

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生转化与化归思想的运用和基础知识的熟练掌握．