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    精英家教网如图所示，椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2，短轴两个端点为A、B．已知|
    OB
    |    、|
    F1B
    |    、
    |F1F2
    |    成等比数列，|
    F1B
    |    -
    |F1F2
    |    =2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1•k2=
    3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标；
    （Ⅲ）当弦MN的中点P落在四边形F1AF2B内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．
    分析：（Ⅰ）根据题意可知
    |OB|
    和
    |F1B|
    ，通过|
    OB
    |    、|
    F1B
    |    、
    |F1F2
    |    成等比数列推断出a2=2bc，进而根据a，b和c的关系求得a和b的关系，利用
    F1B•
    F1F2
    =2    求得b，则a可求，椭圆的方程可得．
    （Ⅱ）设出直线l的方程，和M，N的坐标，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用k1•k2=
    3
    2
    求得b，进而可求得直线l与y轴相交的点．
    （III）由（Ⅱ）中的一元二次方程可求得判别式大于0求得k的范围，设弦AB的中点P坐标则可分别表示出x0和y0，p点在x轴上方，只需位于三角形MF1F2内就可以，进而联立不等式组，求得k的范围．
    解答：解：（Ⅰ）易知
    |OB|
    =b
    |F1B|
    =a    、
    |F1F2|
    =2c    （其中c=
    		a2-b2
    ），
    则由题意知有a2=2bc．又∵a2=b2+c2，联立得b=c．∴a=
    		2
    b    ．
    ∵
    |F1B|
    •
    |F1F2|
    = 2    ，∴2accos45°=2
    ∴b2=1a2=2．
    故椭圆C的方程为
    x2
    2
    +y2=1    ．
    （Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）．
    由
    x2
    2
    +y2=1
    y=kx+b
    ?（1+2k2）x2+4kbx+2b-2=0．
    ∴x2+x1=-
    4kb
    1+2k2
    ，x1x2=
    2b2-2
    1+2k2
    ．
    ∵k1=
    y1+1
    x1
    ，k2=
    y2+1
    x2
    ．
    ∴k1k2=
    (k1+1+b)
    x1
    •
    (kx2+1+b)
    x2
    =
    k2x1x2+(1+b)k(x1+x2)+(1+b)2
    x1x2
    =
    3
    2

    将韦达定理代入，并整理得
    2k2(b-1)-4k2b+(1+2k2) (b+1)
    b-1
    =3，解得b=2．
    ∴直线l与y轴相交于定点（0，2）．

    （III）由（Ⅱ）中（1+2k2）x2+8kx+6=0，其判别式△＞0，得k2＞
    3
    2
    ．①
    设弦AB的中点P坐标为（x0，y0），则x0=-
    4kb
    1+2k2
    ，y0=k0+2=
    2
    1+2k2
    ＞0    ，
    ∴p点在x轴上方，只需位于三角形MF1F2内就可以，即满足
    y0≤x0+1
    y0≤-x0+1
    将坐标代入，整理得
    2k2-4k+1≥0
    2k2+4k+1≥0

    解得
    k≥1+
    		6
    2
    或k≤1-
    		6
    2
    k≥-1+
    		6
    2
    或 K≤-1-
    		6
    2
    ②
    由①②得所求范围为k≥1+
    		6?
    2
    或K≤-1-
    		6?
    2
    ．
    点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生转化与化归思想的运用和基础知识的熟练掌握．
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    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2，短轴两个端点为A、B．已知|
    OB
    |    、|
    F1B
    |    、
    |F1F2
    |    成等比数列，|
    F1B
    |    -
    |F1F2
    |    =2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1•k2=
    3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率e=
    		2
    2
    ，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
    3
    2
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
    （3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知半椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1（y≥0，a＞b＞0）和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A，B，交y轴于点G，H，点M是半圆上异于A，B的任意一点，当点M位于点（
    		6
    3
    ，-
    		3
    3
    ）时，△AGM的面积最大，则半椭圆的方程为
    y2
    2
    +x2=1    （y≥0）
    y2
    2
    +x2=1    （y≥0）
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率e=
    		2
    2
    ，左焦点为F1（-1，0）右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B，与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1，k2，且k1k2=
    3
    2
    ．
    （1）求椭圆C的方程；     
    （2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．

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