Question

17. 如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB＝4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角.D是AB的中点.

（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；

（Ⅱ）求异面直线AO与CD所成角的大小.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，

∴∠BOC是二面角B－AO－C的平面角.

又∵二面角B－AO－C是直二面角，

∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，

∴CO⊥平面AOB，

又CO平面COD，

∴平面COD⊥平面AOB.

（Ⅱ）作DE⊥OB，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO，

∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.

在Rt△COE中，CO=BO=2，OE=BO=1，

∴CE=.

又DE=AO=，

∴在Rt△CDE中，tan∠CDE=，

∴异面直线AO与CD所成角的大小为arctan.

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）建立空间直角坐标系O－xyz，如图，

则O（0，0，0），A（0，0，2），C（2，0，0），D（0，1，），

∴=（0，0，2），=（-2，1，），

∴cos＜，＞＝＝，

∴异面直线AO与CD所成角的大小为arccos.