Question

某建筑工地上所用的金属支架由AB与CD组成，如图所示，根据要求，AB至少长2a（a＞2）m，C为AB中点，B到D的距离比CD的长小1m．∠BCD=60°．已知金属支架的材料每米的价格为10元．
（1）设AB=2x，CD=y，试用x表示y；
（2）怎样设计AB、CD的长，可使建造这个支架的成本最低？

Answer 1

分析：（1）△BCD中，BC=x，CD=y，∠BCD=60°，由余弦定理可求BD；又BD比CD小1，可得x，y的关系式；
（2）由造价函数：W=10（2x+y）=10（2x+

x2-1

x-2

）（其中x≥a＞2），不妨设t=x-2≥a-2＞0，化简W为t的函数容易求出结果；

解答：解：（1）如图，由余弦定理得：BD²=x²+y²-2xycos60°，∴BD=

x2+y2-xy

；
由题意知，BD=CD-1，即

x2+y2 -xy

=y-1，∴y=

x2-1

x-2

（其中x≥a＞2）；
（2）设支架的造价为：W=10（2x+y），不妨令z=2x+y=2x+

x2-1

x-2

，
如果设t=x-2，那么t≥a-2＞0，∴z=2（t+2）+

(t+2)2-1

t

=3（t+

1

t

）+8；
当a-2＞1，即a＞3时，∵z=3(t+

1

t

)+8在[a-2，+∞）上单调递增，∴x=a时，有AB=2a，CD=

a2-1

a-2

，这时造价W的值最小；
当 2＜a≤3时，t=1，x=3，这时造价W的值也最小，且有AB=6，CD=8．

点评：本题借助三角形的余弦定理建立函数解析式，考查函数的最值问题，是中档题．