Question

已知函数f（x）=（m+1）x²-（m-1）x+m-1
（1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x；
（3）若不等式f（x）≥0对一切恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）对二次项系数m+1的情况分类讨论，由不等式f（x）＜1的解集为R，可得，解之即可求得m的取值范围；
（2）f（x）≥（m+1）x?[（m+1）x-（m-1）]（x-1）≥0，对m+1=0，m+1＞0与m+1＜0分类讨论，可分别求得其解集；
（3）（m+1）x²-（m-1）x+m-1≥0?m（x²-x+1）≥-x²-x+1?m≥，通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．
解答：解：（1）①当m+1=0即m=-1时，f（x）=2x-3，不合题意；  …（1分）
②当m+1≠0即m≠-1时，，即，…（3分）
∴，
∴m＜…（5分）
（2）f（x）≥（m+1）x即（m+1）x²-2mx+m-1≥0
即[（m+1）x-（m-1）]（x-1）≥0
①当m+1=0即m=-1时，解集为{x|x≥1}…（7分）
②当m+1＞0即m＞-1时，（x-）（x-1）≥0，
∵=1-＜1，
∴解集为{x|x≤或x≥1}…（9分）
③当m+1＜0即m＜-1时，（x-）（x-1）≥0，
∵=1-＞1，
∴解集为{x|x≥或x≤1}…（…（11分）
（3）（m+1）x²-（m-1）x+m-1≥0，即m（x²-x+1）≥-x²-x+1，
∵x²-x+1＞0恒成立，
∴m≥=-1+…（13分）
设1-x=t，则t∈[，]，x=1-t，
∴===，
∵t+≥2，当且仅当t=1时取等号，
∴≤1，当且仅当x=0时取等号，
∴当x=0时，=1，
∴m≥1…（16分）
点评：本题考查函数恒成立问题，突出考查二次函数的性质及一元二次不等式的解法，突出分类讨论思想与构造函数思想及比较大小方法的综合应用，属于难题．