Question

15．已知数列$\left\{{\frac{a_n}{{{p^{n-1}}}}}\right\}$的前n项和S_n=n²+2n（其中常数p＞0）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{a_n}的前n项和．
（i）求T_n的表达式；
（ii）若对任意n∈N^*，都有（1-p）T_n+pa_n≥2pⁿ恒成立，求p的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2时，利用$\frac{a_n}{{{p^{n-1}}}}$=S_n-S_n-1，进而计算可得结论；
（Ⅱ）（i）当p=1时直接利用等差数列的求和公式计算即可；当p≠1时利用错位相减法计算即得结论；
（ii）分p=1与p≠1两种情况讨论，其中当p≠1时问题转化为对任意n∈N^*都有$\frac{3-p}{1-p}$≥$\frac{4-2p}{1-p}$pⁿ恒成立，再分0＜p＜1、1＜p＜2、p≥2三种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，当n=1时，a₁=S₁=3；（1分）
当n≥2时，$\frac{a_n}{{{p^{n-1}}}}$=S_n-S_n-1=2n+1，得a_n=（2n+1）p^n-1．（2分）
又因为n=1也满足上式，
所以a_n=（2n+1）p^n-1（3分）
（Ⅱ）（i）T_n=3+5p+7p²+…+（2n+1）p^n-1．
①当p=1时，T_n=n²+2n；（4分）
②当p≠1时，由T_n=3+5p+7p²+…+（2n+1）p^n-1得
pT_n=3p+5p²+7p³+…+（2n-1）p^n-1+（2n+1）pⁿ，
则（1-p）T_n=3+2（p+p²+p³+…+p^n-1）-（2n+1）pⁿ，
得T_n=$\frac{3}{1-p}$+$\frac{2p（1-{p}^{n-1}）}{（1-p）^{2}}$-$\frac{1}{1-p}$（2n+1）pⁿ．（6分）
综上，当p=1时，T_n=n²+2n；
当p≠1时，T_n=$\frac{3}{1-p}$+$\frac{2p（1-{p}^{n-1}）}{（1-p）^{2}}$-$\frac{1}{1-p}$（2n+1）pⁿ．（7分）
（ii）①当p=1时，显然对任意n∈N^*，都有（1-p）T_n+pa_n≥2pⁿ恒成立；   （8分）
②当p≠1时，可转化为对任意n∈N^*，都有3+$\frac{2p（1-{p}^{n-1}）}{1-p}$≥2pⁿ恒成立．
即对任意n∈N^*，都有$\frac{3-p}{1-p}$≥$\frac{4-2p}{1-p}$pⁿ恒成立．
当0＜p＜1时，只要$\frac{3-p}{4-2p}$≥p成立，解得0＜p＜1；（9分）
当1＜p＜2时，只要$\frac{3-p}{4-2p}$≤pⁿ 对任意n∈N^*恒成立，
只要有$\frac{3-p}{4-2p}$≤pⁿ对任意n∈N^*恒成立，
只要有$\frac{3-p}{4-2p}$≤p成立，解得1＜p≤$\frac{3}{2}$（10分）
当p≥2时，不满足．（11分）
综上，实数p的取值范围为（0，$\frac{3}{2}$]．（12分）

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．