Question

8．已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P，且PD⊥平面ABCD，PD=8
（Ⅰ）连接PB、AC，证明：PB⊥AC；
（Ⅱ）连接PA，求PA与平面PBD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证PB⊥AC，只需证明AC垂直PB所在平面即可，因为PB在平面PBD中，AC垂直平面PBD中的两条相交直线PD和BD，所以问题得证．
（Ⅱ）欲求PA与平面PBD所成的角的大小，只需找到PA在平面PBD中的射影，PA与它的射影所成角即为所求，再放入三角形中，解三角形即可．

解答 （Ⅰ）证明：连接BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以，PD⊥AC，
所以AC⊥平面PBD，故PB⊥AC．
（Ⅱ）解：因为AC⊥平面PBD，设AC与BD交于O，连接PO，则∠APO就是PA与平面PBD所成的角，
在△APO中，AO=3$\sqrt{2}$，AP=10，
所以sin∠APO=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，
所以∠APO=arcsin$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，
所以PA与平面PBD所成的角的大小为arcsin$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查了直线与直线垂直的证明，直线与平面所成角的计算，以及点到平面的距离的求法，属于立体几何的常规题．