Question

矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点E、F分别为BC、CD边上动点，且满足EF=1，则

AE

•

AF

的最大值为（　　）

• A、3
• B、4
• C、5+

  5

• D、5-

  5

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，设E（2，a），F（b，1）．由EF=1，利用两点之间的距离公式可得（a-1）²+（b-2）²=1．利用数量积运算可得

AE

•

AF

=2b+a，令a+2b=t与圆的方程联立可得5b²-4tb+t²-2t+4=0．当直线a+2b=t与圆有公共点时，△≥0，解出即可得出．

解答：解：如图所示，
设E（2，a），F（b，1）．
∵EF=1，∴

(2-b)2+(1-a)2

=1，即（a-1）²+（b-2）²=1．

AE

•

AF

=2b+a，
令a+2b=t，
联立

a+2b=t (a-1)2+(b-2)2=1

，
化为5b²-4tb+t²-2t+4=0．
当直线a+2b=t与圆有公共点时，△=16t²-20（t²-2t+4）≥0，
解得t²-10t+20≤0，
解得5-

5

≤t≤5+

5

．
∴

AE

•

AF

的最大值为5+

5

．
故选：C．

点评：本题考查了两点之间的距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的位置关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．