Question

已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）图象上的不同两点，记直线AB的斜率为k，试问：是否存在，使得f′（x₀）=k，请说明理由．

Answer 1

解：（1）f′（x）=-ax+（a-1）==（x＞0），
①若-1＜a＜0，则-＞1，当0＜x＜1或x＞-时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当1＜x＜-时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
②若a=-1，则-=1，此时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③若a＜-1，则-＜1，当0＜x＜-或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当-＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上，当-1＜a＜0时，f（x）的增区间是（0，1），（-，+∞），减区间是（1，-）；
当a=-1时，f（x）的增区间是（0，+∞）；
当a＜-1时，f（x）的增区间是（0，-），（1，+∞），减区间是（-，1）．
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）图象上不同的两点，且0＜x₁＜x₂，
则y₁=lnx₁-+（a-1）x₁，，
k_AB==，
=-（x₂+x₁）+（a-1），
f′（x₀）=f′（）=-a•+（a-1），
依题意得，f′（）=-a•+（a-1）=-（x₂+x₁）+（a-1），
化简可得，=，即ln==，
设（t＞1），上式化为lnt==2-，
lnt+=2，令g（t）=lnt+，g′（t）=-=，
因为t＞1，显然g′（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，
显然有g（t）＞2恒成立，所以在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+=2成立，
综上所述，假设不成立，所以不存在，使得f′（x₀）=k．
分析：（1）求导数f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即得函数f（x）的单调区间，需要对参数a进行讨论；
（2）设0＜x₁＜x₂，f′（x₀）=k，即f′（）=-a•+（a-1）=-（x₂+x₁）+（a-1），化简然后构造函数，转化为函数的值域问题可判断．
点评：本题考查导数与函数的单调性的关系以及运用导数研究存在性问题，考查分析问题解决问题的能力，属综合题，难度较大．