Question

【题目】已知.

（1）求的单调区间；

（2）若（其中为自然对数的底数），且恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）对函数求导，对分成两类，讨论函数的单调区间.（2）构造函数，利用导数求得的最大值，并令这个最大值小于或等于零，由此得到，构造函数，利用导数求得的最大值，进而求得的最大值.

解：(1) 由，得

（ⅰ）当时，恒成立，在上单调递增；

（ⅱ）当时，解得，当时，，单调递增，

当时，，单调递减。

（2）当时，，

令，则，

由（1）可知，当时，在上单调递增，不合题意；

当时，在上单调递增，在上单调递减，

当时取得最大值。

所以恒成立，即，整理得

即, 。

令，，

令，，解得，

当时，, 单调递增；当时，, 单调递减；

当时取得最大值为，

因为当时，, 然而，

∴当时，恒成立，当时恒成立，

所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，所以的最大值为