Question

【题目】已知向量＝(cosx，sinx)，＝(cosx，﹣sinx)，函数．

（1）若，x(0，)，求tan(x＋)的值；

（2）若，(，)，，(0，)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）－2－；（2）

【解析】

（1）由向量＝(cosx，sinx)，＝(cosx，－sinx)，利用数量积运算得到f(x)＝cos2x＋，根据f()＝1，求得cosx＝，得到x＝，然后利用两角和的正切公式求解.

（2）由f(α)＝－，得到cos2α＝－，进而得到sin2α＝－，再由sinβ＝，得到 cosβ＝， 然后利用两角和的余弦公式求解.

（1）因为向量＝(cosx，sinx)，＝(cosx，－sinx)，

所以f(x)＝·＋＝cos2x－sin2x＋＝cos2x＋．

因为f()＝1，

所以cosx＋＝1，

即cosx＝．

又因为x∈(0，π) ，

所以x＝，

所以tan(x＋)＝tan(＋)＝＝－2－．

（2）若f(α)＝－，则cos2α＋＝－，即cos2α＝－．

因为α∈(，)，

所以2α∈(π，)，

所以sin2α＝－＝－．

因为sinβ＝，β∈(0，)，

所以cosβ＝＝，

所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝(－)×－(－)×＝．

又因为2α∈(π，)，β∈(0，)，

所以2α＋β∈(π，2π)，

所以2α＋β的值为．