Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）讨论在上的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，在上没有零点，当时，在上只有一个零点，当时，在上有两个零点.

【解析】

（1）利用函数的导函数，分类讨论参数，得出的单调性；

（2）转化问题，原函数有零点即函数有解，求导得出的单调性和极值，分类讨论得出在上的零点个数.

解：（1）∵，

∴，

当时，恒成立，

∴在上单调递减，

当时，

令，得，令，得.

∴在上单调递增，在上单调递减，

综上所述，当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）令，得，

设，则.

令，得，

令，得，

∴在上单调递减，在上单调递增，则.

当时，在上无解，所以在上没有零点；

当时，在上有且仅一个解，所以在上有一个零点；

当时，在上有两个解，所以在上有两个零点.

综上，当时，在上没有零点；

当时，在上只有一个零点；

当时，在上有两个零点.