Question

如图，矩形A₁A₂A′₂A′₁，满足B、C在A₁A₂上，B₁、C₁在A′₁A′₂上，且BB₁∥CC₁∥A₁A′₁，A₁B=CA₂=2，BC=2

2

，A₁A′₁=λ，沿BB₁、CC₁将矩形A₁A₂A′₂A′₁折起成为一个直三棱柱，使A₁与A₂、A′₁与A′₂重合后分别记为D、D₁，在直三棱柱DBC-D₁B₁C₁中，点M、N分别为D₁B和B₁C₁的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面DD₁C₁C；
（Ⅱ）若二面角D_1-MN-C为直二面角，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连结DB₁、DC₁，根据矩形的几何特征，可得M为DB₁的中点，由三角形中位线定理，可得MN∥DC₁，进而由线面平行的判定定理得到MN∥平面DD₁C₁C；
（Ⅱ）以DB、DC、DD₁所在直线分别为x．y．z轴建立直角坐标系，由二面角D_1-MN-C为直二面角，可得平面D₁MN的法向量

m

与平面MNC的法向量

n

垂直，进而由向量垂直的充要条件，可得λ的值．

解答：证明：（Ⅰ）连结DB₁、DC₁
∵四边形DBB₁D₁为矩形，M为D₁B的中点 …（2分）
∴M是DB₁与D₁B的交点，且M为DB₁的中点
∴MN∥DC₁，
又∵MN?平面DD₁C₁C，DC₁?平面DD₁C₁C
∴MN∥平面DD₁C₁C                          …（4分）
解：（Ⅱ）四边形A₁A₂A′₂A′₁为矩形，B，C在A₁A₂上，B₁，C₁在A′₁A′₂上，
且BB₁∥CC₁∥A₁A₁'，A₁B=CA₂=2，BC=2

2

，
∴∠BDC=90°                                        …（6分）
以DB、DC、DD₁所在直线分别为x．y．z轴建立直角坐标系，则
D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，λ），B₁（2，0，λ），C₁（0，2，λ）
点M、N分别为D₁B和B₁C₁的中点，
∴M(1，0，

λ

2

)，N(1，1，λ)
设平面D₁MN的法向量为

m

=（x，y，z），
则

(x，y，z)•(1，-2， λ 2 )=0 (x，y，z)•(1，-1，λ)=0

⇒

x-2y+ λz 2 =0 x-y+λz=0

，
令x=1得：
即

m

=(1，-1，

2

λ

)…（8分）
设平面MNC的法向量为

n

=（x，y，z），
则

(x，y，z)•(1，-1， λ 2 )=0 (x，y，z)•(1，-1，λ)=0

⇒

x-y+ λz 2 =0 x-y+λz=0

，
令z=1得：x=-

3λ

2

，y=-

λ

2

即

n

=(-

3λ

2

，-

λ

2

，1)…（10分）
∵二面角D₁-MN-C为直二面角
∴

m

⊥

n

，
故

m

•

n

=-

3λ

2

+

λ

2

+

2

λ

=0，
解得：λ=

2

∴二面角D₁-MN-C为直二面角时，λ=

2

．     …（12分）

点评：本题考查的知识点是线面平行的判定定理，二面角的平面角及求法，解答（I）的关键是熟练掌握线面垂直的充要条件，解答（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．