Question

如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AD，点Q是PA的中点，PA=4，AB=2．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求点Q到BD的距离．

Answer 1

解：（1）连接AC
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD
∴AC为斜线PC在平面ABCD内的射影
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD（4分）
∴PC⊥BD（6分）
（2）设AC∩BD=O，连接OQ
∵Q为PA中点，O为AC中点
∴OQ∥PC
∵PC⊥BD
∴OQ⊥BD
∴OQ的长就是点Q到BD的距离（9分）
∵AB=2，PA=4
∴
∴，QA=2
∴
即点Q到BD的距离为（12分）
分析：（1）由题意及图知，可先证PC在面ABCD内的射影与BD垂直，再由三垂线定理得出PC⊥BD；
（2）由图及题设条件，可先证出点Q到BD的距离即是QO，再由Q，O是中点求出线段QA与OA的长度，在直角三角形QAO中用勾股定理求出OQ的长，即得点Q到线BD的距离
点评：本题考点是点、线、面间距离的计算，考查了三垂线定理，点线距离的求法，解题的关键是熟练掌握三垂线定理及理解点到线的距离的几何意义，本题考查了根据图形进行判断的能力，是立体几何中的基础题型，可用来训练对基础知识的理解及基本方法的培养．