Question

已知抛物线的顶点在原点，它的准线经过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点，且与x轴垂直，抛物线与此双曲线交于点(

3

2

，

6

)，求抛物线和双曲线的方程．

Answer 1

分析：利用抛物线与双曲线的标准方程及其性质即可得出．

解答：解：由题意，设抛物线的方程为 y2=2p

x

(p＞0)．
∵点(

3

2

，

6

)在抛物线上∴6=2p•

3

2

，p=2．
∴抛物线的方程为 y²=4x．
∵抛物线的准线方程x=-1
∴双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点F₁（-1，0），则c=1，∴a²+b²=1．
∵点(

3

2

，

6

)在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，∴

9 4

a2

-

6

b2

=1．
由 

a2+b2=1 9 4a2 - 6 b2 =1 c=1

解得a2=

1

4

，b2=

3

4

，
∴双曲线的方程为 4x2-

4y2

3

=1．
∴所求抛物线和双曲线的方程分别为y²=4x，4x2-

4y2

3

=1．

点评：熟练掌握抛物线与双曲线的标准方程及其性质是解题的关键．