Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求b的值；
（2）求f（2）的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c
∴f'（x）=-3x²+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f'（0）=0
∴b=0．
（2）由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，
∴c=1-a
∵f'（x）=-3x²+2ax=0的两个根分别为．
又∵f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴，即．
∴．
故．
分析：（1）求出导函数，据已知条件中函数的单调性，判断出x=0是一个极值点，将x=0代入导函数得到函数值为0，求出b的值．
（2）将b的值代入f（x）中，将x=1代入得到a，c的关系，求出导函数的两个根即函数的两个极值点，利用函数的单调性，判断出极值点与单调区间的关系，列出不等式求出f（2）的范围．
点评：函数在极值点处的导函数为0是函数有极值的必要条件；极值点左右两边的导函数符号还必须相反．