Question

（2013•牡丹江一模）如图所示，F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F₂AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  2

  +1
• B．

  3

  +1
• C．

  2 +1

  2

• D．

  3 +1

  2

Answer 1

分析：连接AF₁，可得∠AF₂F₁=30°，∠F₁AF₂=90°，F₂F₁=2c，AF₁=c，AF₂=

3

c，由双曲线的定义可知：AF₂-AF₁=

3

c-c=2a，变形可得离心率

c

a

的值．

解答：解：连接AF₁，可得∠AF₂F₁=30°，∠F₁AF₂=90°，
由焦距的意义可知F₂F₁=2c，AF₁=c，
由勾股定理可知AF₂=

3

c，
由双曲线的定义可知：AF₂-AF₁=2a，即

3

c-c=2a，
变形可得双曲线的离心率

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1
故选B

点评：本题考查双曲线的性质，涉及直角三角形的性质，属中档题．