Question

已知函数f（x）=2x²+（x-a）²．
（Ⅰ）若f（x+1）为偶函数，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[0，1]上有最小值9，求a的值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=2x²+（x-a）²=3x²-2ax+a²
∵函数f（x+1）为偶函数，∴二次函数函数f（x）的对称轴为x=1．----------（2分）
∴直线x=

a

3

即直线x=1，解之得a=3；-----------------（4分）
（Ⅱ）f（x）=2x²+（x-a）²=3x²-2ax+a²
函数图象关于直线x=

a

3

对称
①当

a

3

＜0即a＜0时，函数在[0，1]上为增函数，可得
最小值为fmin(x)=f(0)=a2=9，解之得a=-3------------（6分）
②当0≤

a

3

≤1即0≤a≤1时，函数最小值为fmin(x)=f(

a

3

)=

2

3

a2=9，矛盾----------（8分）
③当

a

3

＞1即a＞1时，函数在[0，1]上为减函数，可得
最小值为fmin(x)=f(1)=3-2a+a2=9，解之得a=1+

7

（舍负）----------（10分）
综上所述，满足条件的a值为-3或a=1+

7

．--------------------------（12分）