Question

【题目】己知函数f（x）= （其中e为自然对数的底数），h（x）=x﹣ ．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设g（x）= ，．已知直线y= 是曲线y=f（x）的切线，且函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．
（i）求实数a的值；
（ii）求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ，

∴ ，

①当a＞0时，

在x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，f'（x）＜0，在x∈（0，2）时，f'（x）＞0，

故f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上是减函数，在（0，2）上是增函数；

②当a＜0时，

在x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，f'（x）＞0，在x∈（0，2）时，f'（x）＜0，

故f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上是增函数，在（0，2）上是减函数；

（Ⅱ）（i）对f（x）求导，得 ，

设直线 与曲线y=f（x）切于点P（x0，y0），

则 解得a=x0=1，∴a=1

（ii）记函数（x）=f（x）﹣h（x）= ，x＞0，

求导，得 ，

当x≥2时，'（x）＜0恒成立，

当0＜x＜2时， ，

∴ ，

∴'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故（x）在（0，+∞）上单调递减．

又 ， ，

曲线（x）=f（x）﹣h（x）在[1，2]上连续不间断，

∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，唯一的x0∈（1，2），使（x0）=0．

∴当x∈（0，x0）时，（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，（x）＜0．

∴当x＞0时， =

求导，得

由函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，且曲线y=g（x）在（0，+∞）上连续不断知：

g'（x）≥0在（0，x0]，（x0，+∞）上恒成立．

①当x∈（x0，+∞）时， ﹣2cx≥0在（x0，+∞）上恒成立，

即 在（x0，+∞）上恒成立，

记 ，x＞x0，则 ，x＞x0，

当 x变化时，u'（x），u（x）变化情况列表如下：

x	（x0，3）	3	（3，+∞）
u'（x）	﹣	0	+
u（x）	↓	极小值	↑

∴u（x）min=u（x）极小值=u（3）= ，

故“ 在（x0，+∞）上恒成立”，只需2c≤u（x）min= ，即 ．

②当x∈（0，x0]时，g'（x）=1+ ﹣2cx，

当c≤0时，g'（x）＞0在x∈（0，x0]上恒成立，

综合①②知，当 时，函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．

故实数c的取值范围是

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）（i）根据切线方程求出a的值即可；（ii）问题转化为 在（x0，+∞）上恒成立，根据函数的单调性求出c的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．