Question

如图，已知OPQ是半径为为1，圆心角为

π

3

的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，矩形ABCD的面积为S．
（1）请找出S与α之间的函数关系（以α为自变量）；
（2）求当α为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

分析：（1）先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积；
（2）再利用角α的范围，结合正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可．

解答：解：在RT△OBC中，OB=OC•cosα=cosα，BC=OC•sinα=sinα
在RT△OAD中，

DA

OA

=tan60°=

3

（2分）
∴OA=

3

3

DA=

3

3

BC=

3

3

sinα，
∴AB=OB-OA=cosα-

3

3

sinα，（4分）
矩形ABCD的面积S=AB•BC=(cosα-

3

3

sinα)sinα=sinαcosα-

3

3

sin2α=

1

2

sin2α-

3

6

(1-cos2α)=

1

2

sin2α+

3

6

cos2α-

3

6

=

1

3

(

3

2

sin2α+

1

2

cos2α)-

3

6

=

1

3

sin(2α+

π

6

)-

3

6

（8分）
（2）由0＜α＜

π

3

，得

π

6

＜2α+

π

6

＜

5π

6

，（10分）
所以当2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

时，（12分）
S最大=

1

3

-

3

6

=

3

6

所以，当α=

π

6

时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为

3

6

．（14分）

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．