Question

如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

【答案】分析：如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．
解答：解：如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，=tan60°=，所以OA=DA=BC=sinα．
所以AB=OB-OA=cosαsinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（cosαsinα）sinα=sinαcosαsin²α
=sin2α+cos2α-=（sin2α+cos2α）-
=sin（2α+）．
由于0＜α＜，所以当2α+=，即α=时，S_最大=-=．
因此，当α=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．