Question

已知函数f（x）=（2ax²-2x+1）e^-2x
（1）若a=2，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）若f（x）在区间（2，3）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导数，令导数等于0求出导数的零点，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义，导数零点左增右减为极大值点，左减右增为极小值点，求出相应极值即可；
（2）先求出f（x）的导数，由于f（x）在区间（2，3）上单调递减，则f′（x）＜0在区间（2，3）上恒成立，即a＞

1

x

，x∈(2，3)恒成立，即得a的范围．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=（4x²-2x+1）e^-2xf'（x）=-4（2x²-3x+1）e^-2x=-4（x-1）（2x-1）e^-2x…（3分）
令f'（x）=0∴x1=1，x2=

1

2

当x=1时，f（x）有极大值3e^-2；当x=

1

2

时，f(x)有极小值e^-1…（6分）
（2）f'（x）=-4[ax²-（a+1）x+1]e^-2x，
令f'（x）＜0，ax²-（a+1）x+1=（ax-1）（x-1）＞0
对x∈（2，3）恒成立，…（9分）
即ax-1＞0对x∈（2，3）恒成立，亦即a＞

1

x

，x∈(2，3)恒成立
而g(x)=

1

x

＜

1

2

故a≥

1

2

．…（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，要会根据函数的增减性得到函数的极值，本题还涉及了利用导数研究函数的单调性等知识，考查运算求解能力．要求会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，对含有字母参数的问题能够运用分类讨论的思想方法．属中档题．