Question

如图所示，已知D为△ABC的BC边上一点，⊙O₁经过点B、D交AB于另一点E，⊙O₂经过点C、D交AC于另一点F，⊙O₁与⊙O₂交于点G．

(1)求证：∠EAG＝∠EFG；
(2)若⊙O₂的半径为5，圆心O₂到直线AC的距离为3，AC＝10，AG切⊙O₂于G，求线段AG的长．

Answer 1

（1）见解析   （2）2

解：(1)证明：连接GD，
因为四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O₁，⊙O₂，
∴∠AEG＝∠BDG，∠AFG＝∠CDG，
又∠BDG＋∠CDG＝180°，
∴∠AEG＋∠AFG＝180°．
即A，E，G，F四点共圆，∴∠EAG＝∠EFG．
(2)因为⊙O₂的半径为5，
圆心O₂到直线AC的距离为3，
所以FC＝2＝8，
又AC＝10，∴AF＝2，∵AG切⊙O₂于G，
∴AG²＝AF·AC＝2×10＝20，∴AG＝2．