Question

11．在等比数列中，已知公比为2，a₁a₂a₃…a₃₀=2³⁰，求a₃a₆a₉a₃₀的值为2²⁰．

Answer 1

分析 由等比数列的性质将此数列的前三十项分为三组，每组为十个数的乘积，第一组是a₁a₄a₇…a₂₈，第二组是a₂a₅a₈…a₂₉，第三组是a₃a₆a₉…a₃₀，根据等比数列的定义和通项公式即可求出答案．

解答 解：由题意可将此数列的前三十项分为三组，每组为十个数的乘积，
第一组是a₁a₄a₇…a₂₈，第二组是a₂a₅a₈…a₂₉，第三组是a₃a₆a₉…a₃₀，此三个数是一个公比为2¹⁰等比数列，
令t=a₃a₆a₉…a₃₀，则有a₂a₅a₈…a₂₉=$\frac{t}{{2}^{10}}$，a₁a₄a₇…a₂₈=$\frac{t}{{2}^{20}}$，
∴a₁•a₂•a₃•…•a₃₀=t×$\frac{t}{{2}^{10}}$×$\frac{t}{{2}^{20}}$=2³⁰，解得t=2²⁰，
即a₃a₆a₉…a₃₀=2²⁰．
故答案为：2²⁰．

点评 本题考查等比数列的性质、定义和通项公式的灵活应用，属于中档题．