已知：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEGF所截得的，其中AB=4，BC=2，CG=3，BE=1，
（1）求：BF与平面BCGE所成角的正切值
（2）求：截面AEGF与平面ABCD所成的二面角的余弦值
（3）在线段CG上是否存在一点M，使得M在平面AEGF上的射影恰为△EGF的重心．

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则D（0，0，0），B（2，4，0）A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），G（0，4，3）设F（0，0，z）．
∵AEGF为平行四边形，
∴ $\text{[math]}$ ，
即（-2，0，z）=（-2，0，2），∴z=2．
∴F（0，0，2）．
∴ $\text{[math]}$ =（-2，-4，2）．于是| $\text{[math]}$ |=2 $\text{[math]}$ ，即BF的长为2 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ =（-2，-4，2），
易知平面BCGE的一个法向量为 $\text{[math]}$ =（0，1，0），|cos＜ $\text{[math]}$ ＞|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =sinθ
cosθ= $\text{[math]}$ ∴BF与平面BCGE所成角的正切值为tanθ=2．
（2）设 $\text{[math]}$ 为平面AEGF的法向量且 $\text{[math]}$ =（x，y，z）
由 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ 令z=1∴ $\text{[math]}$ ，易知平面ABCD的法向量 $\text{[math]}$ =（0，0，1）
设截面AEGF与平面ABCD所成的二面角为α，则|cosα|=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$
（2）截面AEGF与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值 $\text{[math]}$ ．
（3）不存在，在△AGC中，设M在平面AEGF的射影为H，
∵ $\text{[math]}$ ．故不存在．
分析：（1）可以建立空间坐标系，设出F点的坐标，根据截面AEFG为平行四边形， $\text{[math]}$ ，得到F点的坐标；利用 $\text{[math]}$ 与平面BCGE的法向量夹角求解．
（2）分别求出平面AEGF及平面FABCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角E-FC₁-C的余弦值．
（3）设M在平面AEGF的射影为H， $\text{[math]}$ ．故不存在．
点评：本题主要考查线线角，二面角空间角的计算．利用空间向量知识方法求解，思路稳定，使问题论证与计算变成了代数运算，使人们解决问题更加方便．

练习册系列答案

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