Question

椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点.当m＝0时，

(1)求C的方程；

(2)证明：为定值.

 

Answer 1

(1)；(2)41

【解析】试题分析：(1)用坐标表示向量，利用＝－可求的椭圆相关数据，从而得到方程；(2)将|PA|2＋|PB|2通过坐标转化为m的表达式，证明该表达式与m的值无关.

试题解析：(Ⅰ)因为离心率为，所以＝．

当m＝0时，l的方程为y＝x，

代入并整理得x2＝． 2分

设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，

＝－－＝－＝－·．

又因为＝－，所以a2＝25，b2＝16，

椭圆C的方程为． 5分

(Ⅱ)l的方程为x＝y＋m，代入并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|PA|2＝(x1－m)2＋＝，同理|PB|2＝． 8分

则|PA|2＋|PB|2＝ (＋)＝ [(y1＋y2)2－2y1y2]

＝ [(－)2－]＝41．

所以，|PA|2＋|PB|2是定值． 12分

考点:椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量，定值问题