Question

如图，在棱长为l的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为CC₁中点．
（1）求二面角A₁-BD-M的大小；
（2）求四面体A₁-BDM的体积？

Answer 1

分析：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为l，取BD中点为O，连接OM，OA₁．
说明∠A₁OM为=两角A₁-BD-M的平面角，在△A₁OM中，由勾股定理求出二面角A₁-BD-M的大小；
（2）由（1）可知A₁O⊥面BDM，直接求出四面体A₁-BDM体积．

解答：解：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为l，取BD中点为O，连接OM，OA₁．
∵BM=DM=

5

2

，A₁B=A₁D=

2

从而A₁O⊥BD，MO⊥BD
∴∠A₁OM为=两角A₁-BD-M的平面角
在△A₁OM中，OM=

BM2-OB2

=

3

2

，A1O=

A1B2-OB2

=

6

2

而A1M=

A1 C 2 1 -C1M2

=

3

2

从而由勾股定理可知：∠A₁OM=90°（6分）
（2）由（1）可知A₁O⊥面BDM，从而四面体A₁-BDM体积
V=

1

3

•S△BDM•A1O=

1

3

(

1

2

•

2

•

3

2

)•

6

2

=

1

4

（12分）

点评：本题是中档题，考查二面角的求法，几何体的体积的求法，考查计算能力，转化思想的应用，找出二面角的平面角是解题的关键．