Question

已知M={x|-2＜x＜5}，N={x|a+1≤x≤2a-1}．
（Ⅰ）是否存在实数a使得M∩N=M，若不存在求说明理由，若存在，求出a；
（Ⅱ）是否存在实数a使得M∪N=M，若不存在求说明理由，若存在，求出a．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据M∩N=M，可得M⊆N，从而可建立不等式组，解之即可；
（Ⅱ）根据M∪N=M，可得N⊆M，分类讨论：①当N=∅时，即a+1＞2a-1，有a＜2；②当N≠∅，则

-2＜a+1 5＞2a-1 2a-1≥a+1

，解得2≤a＜3，从而可得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵M∩N=M
∴M⊆N，
∴

-2≥a+1 5≤2a-1 2a-1≥a+1

，解得a∈∅．（3分）
（Ⅱ）∵M∪N=M
∴N⊆M
①当N=∅时，即a+1＞2a-1，有a＜2；                        （5分）
②当N≠∅，则

-2＜a+1 5＞2a-1 2a-1≥a+1

，解得2≤a＜3，（8分）
综合①②得a的取值范围为a＜3．（9分）

点评：本题以集合为载体，考查集合的运算，考查参数取值范围的求解，将集合运算转化为集合之间的关系是解题的关键．