Question

设双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F且垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点，已知

BF

与

FA

同向，且丨

AB

丨是丨

OA

丨，丨

OB

丨的等差中项，则l₁，l₂的方程是（　　）

• A、y=±

  1

  2

  x
• B、y=±2x
• C、y=±

  4

  3

  x
• D、y=±

  3

  4

  x

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，即可求出直线方程．

解答： 解：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵丨

AB

丨是丨

OA

丨，丨

OB

丨的等差中项，
∴2|AB|=|OB|+|OA|，
∵|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∵2|AB|=|OB|+|OA|
∴|OA|=

3

4

|AB|，
∴tan∠AOB=

4

3

而由对称性可知：设OB的斜率为k，∴

2k

1-k2

=

4

3

，
∴2k²+3k-2=0，∴k=

1

2

（k=-2舍去）．
∴l₁，l₂的方程是y=±

1

2

x．
故选：A．

点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，由|OA|=

3

4

|AB|，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．