Question

（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝x²(x－3a)＋1(a＞0，x∈R).
（I）求函数y＝f(x)的极值；
（II）函数y＝f(x)在(0，2)上单调递减，求实数a的取值范围；
（III）若在区间(0，＋∞)上存在实数x₀，使得不等式f(x₀)－4a³≤0能成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

（I）当a＞0时，在x＝0处，函数f(x)有极大值f(0)＝1；在x＝2a处，函数f(x)有极小值f(2a)＝－4a³＋1 .
（II）a≥1
（III）a≥.

解：f＇(x)＝3x(x－2a)，令f＇(x)＝0，得x＝0或x＝2a .
f(0)＝1，f(2a)＝－4a³＋1 .
（I）当a＞0时，2a＞0，当x变化时，f＇(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，0)	0	(0，2a)	2a	(2a，＋∞)
f＇(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	1	↘	－4a3＋1	↗

∴ 当a＞0时，在x＝0处，函数f(x)有极大值f(0)＝1；在x＝2a处，函数f(x)有极小值f(2a)＝－4a³＋1 .
（II）在(0，2)上单调递减，∴ 2a≥2，即a≥1 .
（III）依题意得 4a³≥f(x)_min4a³≥－4a³＋18a³≥1a≥.