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已知二次函数数学公式满足f(1+x)=f(1-x)且方程数学公式有等根
(1)求f(x)的表达式;
(2)若f(x)在定义域(-1,t]上的值域为(-1,1],求t的取值范围;
(3)是否存在实数m、n(m<n),使f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n],若存在,求出m、n的值.

解:(1)∵f(x)满足f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称.
而二次函数f(x)的对称轴为x=,∴=1.①
又f(x)=-x有等根,即ax2+(b+1)x-2=0有等根,∴△=(b+1)2+8a=0.②
由①,②得 b=1,a=-
∴f(x)=-x2+x+
(2)∵函数f(x)=-x2+x+的对称轴方程为x=1,
若t≤1,f(x)在(-1,t]上为增函数,此时
,得:(t-1)2=0,∴t=1
若1<t<3,则
若t≥3,f(x)min=f(t),与题意不符
所以f(x)在定义域(-1,t]上的值域为(-1,1]的t的取值范围是[1,3).
(3)如果存在满足要求的m,n(m<n)使得f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n],
那么当m<n≤1时,有,即,解得:
当1≤m<n时,有,即,次方程无解
当m<1,n>1时,由f(x)max=f(1)=1=2n,得:n=,不合题意,
所以存在实数,使f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n].
分析:(1)由已知中f (1+x)=f (1-x),可得f(x)的图象关于直线x=1对称,结合方程f (x)=x有等根其△=0,我们可构造关于a,b的方程组,解方程组求出a,b的值,即可得到f (x)的解析式;
(2)因为二次函数的对称轴方程为x=1,且(1)中求出的二次函数开口向下,所以对t进行分类讨论,当t≤1时,函数在(-1,t]上为增函数,函数的最大值为f(t),由f(t)=1求t的值,当1<t<3时,函数的最大值为f(1),看f(1)是否等于1,当t≥3时,函数有最小值,与题意不符;
(3)由(1)中函数的解析式,若f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n],我们分n≤1,m≥1,及m<1、n>1三种情况讨论,根据函数在[m,n]的单调性,进而构造出满足条件的方程,解方程即可得到答案.
点评:本题考查考查了函数解析式的求解及常用方法,考查了函数定义域及值域的求法,重点考查了分类讨论的数学思想,对于存在性问题可先假设其存在,然后推出正确的解答或得出矛盾.
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