Question

（14分）已知aÎR，函数f（x）=x| x－a |．

（1）当a=2时，求使f（x）=x成立的的集合；

（2）求函数y=f（x）在区间上的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）f（x）=x成立的的集合为{0，1，3}

（2）函数y=f（x）在区间上的最小值为

【解析】解：（1）当a=2时，f（x）=x| x－2 |．

当x<2时，由f（x）=x（2－x） =x，解得x=0或x=1；

当x≥2时，由f（x）=x（ x－2 ）=x．，解得x=0或x=3．

综上所述，使f（x）=x成立的的集合为{0，1，3}．………………………………4分

（2）①当a≤1时，在区间[1，2]上，f（x）= x（x－a）=x²－ax．

因为当1≤x≤2时，=2x－a>0，

所以f（x）在[1，2]上单调递增，所以=f（1）=1－a．………………………6分

②当1<a≤2时，在区间[1，2]上，f（x）=x | x－a |≥0，由f（a）=0知，=f（a）=0．………………………………………………………………………………………………8分

③当a>2时，在区间[1，2]上，f（x）= x（a－x）=ax－x²．

,

若2<a<3，,所以=f（2）=2a-4．………………………………10分

若a≥3，,所以=f（1）=a－1．………………………………12分

综上所述，函数y=f（x）在区间上的最小值为14分