Question

已知aÎR，函数f(x)=x³−3x²+3ax−3a+3

（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）当xÎ[0，2]时，求|f(x)|的最大值．

Answer 1

【命题意图】本题考查导数的几何意义，导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力

  【答案解析】

（Ⅰ）由题意f ¢(x)=3x²−6x+3a，故f ¢(1)=3a−3．又f(1)=1，所以所求的切线方程为

y=(3a−3)x−3a+4

（Ⅱ）由于f ¢(x)=3(x−1)²+3(a−1)，0x£2．故

（ⅰ）当a£0时，有f ¢(x) £0，此时f(x)在[0，2]上单调递减，故

|f(x)|_max=max{|f(0)|，|f(2)|}=3−3a

（ⅱ）当a³1时，有f ¢(x) ³0，此时f(x)在[0，2]上单调递增，故

|f(x)|_max=max{|f(0)|，|f(2)|}= 3a−1

（ⅲ）当0<a<1时，设x₁=1−，x₂=1+，则

0< x₁< x₂<2，f ¢(x)=3(x− x₁)(x− x₂)

列表如下：

x	0	(0，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x2，2)	2
f ¢(x)		+	0	−	0	+
f (x)	3−3a	单调递增	极大值f (x1)	单调递减	极小值f (x2)	单调递增	3a−1

由于

f(x₁)=1+2(1−a)，f(x₂)=1−2(1−a)，

故

f(x₁)+f(x₂)=2>0，f(x₁)×f(x₂)=4(1−a)>0

从而

f(x₁)>| f(x₂)|．

所以

|f(x)|_max=max{f(0)，|f(2)|，f(x₁)}

（1）当0<a<时，f(0)>|f(2)|．高考资源网

又

f(x₁)− f(0)=2(1−a)−(2−3a)=>0

故

|f(x)|_max= f(x₁)=1+2(1−a)．

（2）当£a<1时，|f(2)|=f(2)，且f(2)³f(0)．

又

f(x₁)− |f(2)|=2(1−a)−( 3a −2)=

所以

①当£a<时，f(x₁)> |f(2)|．故

|f(x)|_max= f(x₁)=1+2(1−a)．

②当£a<1时，f(x₁) £ |f(2)|．故

|f(x)|_max=| f(2)|= 3a−1．

   综上所述，

|f(x)|_max=