Question

【题目】如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．

（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD，

∴AB⊥CD，

∵CD⊥BD，AB∩BD=B，

∴CD⊥平面ABD；

（2）解：∵AB⊥平面BCD，BD平面BCD，

∴AB⊥BD．

∵AB=BD=1，

∴S△ABD= ，

∵M为AD中点，

∴S△ABM= S△ABD= ，

∵CD⊥平面ABD，

∴VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ABMCD=

【解析】（1）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；（2）利用转换底面，VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ABMCD，即可求出三棱锥A﹣MBC的体积．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．