Question

（2006•海淀区二模）已知函数f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx(x∈R)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）函数f（x）的图象可由y=2sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

分析：（1）利用三角函数间的关系将f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx化简为f（x）=2sin（2x+

π

6

），即可求得函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x…（2分）
=2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）
=2sin（2x+

π

6

）…（4分）
∴T=π，f（x）_最大值=2…（6分）
（2）先将y=2sinx（x∈R）的图象向左移

π

6

个单位，得到y=2sin（x+

π

6

）的图象；再将y=2sin（x+

π

6

）的图象的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到y=2sin（2x+

π

6

）的图象．…（13分）
或先将y=2sinx（x∈R）的图象的横坐标变为原来一半，纵坐标不变，得到函数y=2sin2x的图象；再将y=2sin2x的图象向左移

π

12

个单位，得到2sin（2x+

π

6

）的图象．…（13分）

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及其应用，属于中档题．