Question

（理）已知函数f（x）=2x+1，x∈R．规定：给定一个实数x₀，赋值x₁=f（x₀），若x₁≤255，则继续赋值x₂=f（x₁） …，以此类推，若x_n-1≤255，则x_n=f（x_n-1），否则停止赋值，如果得到x_n后停止，则称赋值了n次（n∈N^*）．已知赋值k次后该过程停止，则x₀的取值范围是

1. A.
   （2^k-9，2^k-8]
2. B.
   （2^k-8-1，2^k-9-1]
3. C.
   （2^8-k-1，2^9-k-1]
4. D.
   （2^7-k-1，2^8-k-1]

Answer 1

C
分析：由已知中给定一个实数x₀，赋值x1=f（x1），若x₁≤255，则继续赋值x₂=f（x₁） …，以此类推，若x_n-1≤255，则x_n=f（x_n-1），否则停止赋值，如果得到x_n后停止，已知赋值k次后该过程停止，我们易得x₀的满足x_k=2^kx₀+2^k-1+…+1≤255，x_k+1=2^k+1x₀+2^k+…+1＞255，解不等式组即可得到答案．
解答：x₁=f（x₀）=2x₀+1，
x₂=2²x₀+2+1
…
x_k=2^kx₀+2^k-1+…+1
x_k+1=2^k+1x₀+2^k+…+1
若赋值k次后该过程停止，则x₀满足
x_k=2^kx₀+2^k-1+…+1≤255
x_k+1=2^k+1x₀+2^k+…+1＞255
解得X₀∈（2^8-k-1，2^9-k-1]（k∈N^*）．
故选C
点评：本题考查的知识点是推理与证明，其中根据已知条件中的定义，得到x₀的满足的不等式组，是解答本题的关键．